各种例子诞生拓扑学以来，拓扑学开始作为数学正统之一来发展。

发现了很多个例子，把他们归结成拓扑学。

然后开始实用严格的方法去规定他们。

然后对不同的拓扑学开始分类，分成几个标准的类型，以此来作为构造复杂拓扑形状的原件。这就是让拓扑与群联系起来。

然后开始准备进行装配，配边等方法让不同的拓扑组合起来。

然后对奇点，无穷大点进行修补，补好了可以让形状变动普通。

让拓扑学与微分集合合起来，解释多个关于拓扑本身性质的问题。

寻找的重要的例子，莫比乌斯带、克莱因瓶、庞加莱猜想和椭圆曲线与圆环的组合等等。

康托儿数字与拓扑联系起来。

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《基础拓扑学》是一部拓扑学入门书。作者主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量，以及相应的计算方法。本书涉及点集拓扑、几何拓扑、代数拓扑中的各类方法及其应用，并包含大量的图解和难度各异的思考题，有助于培养学生的几何直观能力和对本书的深刻理解。本书内容浅易，注重抽象理论与具体应用相结合。

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1966年，英国拓扑学家马克·阿姆斯特朗对自己的老师知名拓扑学家 Erik Zeeman说：“拓扑学是如何开始的？”

Erik Zeeman说：“从欧拉的七桥定理开始的，从这个中间把七桥的模型画成图论，从图论中分析出拓扑等价。”

马克说：“听起来很简单，那如何去研究拓扑学呢？”

Erik Zeeman说：“主要就是分类，对不同的拓扑结构进行分类。分类出很多曲面，对曲面解构成抽象空间，然后找到拓扑不变量去分类。”

马克说：“那要分类很多曲面，是什么曲面？有标准吗？”

Erik Zeeman说：“是的，要严格的连续曲面，不能是离散的。”

马克说：“如何说明是连续的？”

Erik Zeeman说：“就跟我说的一样，这是一个抽象空间，这个空间需要由开集和闭集这样的东西给组成。然后开集和闭集需要引入连续映射系统来完整这个函数的描述。”

马克说：“为什么要用开集和闭集这样的东西？”

Erik Zeeman说：“因为严格。如果使用几何、数字、符号或者是其他的描述拓扑的系统，都缺乏严格性。如果时间久了会出现很多我们不想要的漏洞。”

马克说：“我明白了。”

Erik Zeeman说：“在这样的前提下，就可以大胆的研究映射，让曲线充分的施展开来。可以让普通的曲线因为映射充满整个空间。同时开始使用Tietze扩张定理。”

马克说：“扩张？如何扩张？”

Erik Zeeman说：“是R的n维空间的有理点集，扩张到整个空间。”

马克说：“扩张到所有的无理点集？”

Erik Zeeman说：“恩，是这个意思。”

马克说：“不错，可是刚刚说的这个开集和闭集，这个如何算严格，怎么去连续，变得光滑？”

Erik Zeeman说：“需要有紧致性和连通性，加有界闭集这种概念。闭集是bai两边类似[1，10]；有界集两边是(1，10]，[1，10）两种。”

马克说：“有界之后，如何紧致化？”

Erik Zeeman说：“这是海涅－博雷尔定理或有限覆盖定理、定理的主要内容是度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。”

马克说：“是子集紧致就行吗？那能不能在详细一些，紧致空间的性质是什么？”

Erik Zeeman说：“紧致性本质上是有限性条件，有限性条件破解类似一日之椎，日取其半，万世不可遏这样的意思。假如孙悟空在如来的手掌心翻跟斗，跟斗云是一个任意序列，停在如来的手指旁是存在一个子列收敛，留下到此一游的字和撒尿是在一个有界的闭集里。或者一个瓶子里装高尔夫球后，可以装石子，然后还可以装沙子，最后还可以装水，这都说明原来的东西不够紧。这些都可以作为例子来想。”

马克说：“不错，这个解释变得清晰了一些。”

234说：“然后，就需要了解乘积空间。”

马克说：“乘积空间是干什么的，是要把拓扑空间乘起来吗？”

234说：“没错，打个比方，就是R的n维空间是n个R直线乘起来的。”

马克说：“这个是在高纬度实数坐标中的一种比喻。”

234说：“现在开始研究连通性。如果非空的A和B都是分离并，他们都在X中，一般是不连通的。”

马克说：“什么？”

234继续说：“如果X让分离并连通了，就称之为连通的。”

马克说：“R的n维空间是连通的吗？”

234说：“是连通的。”